NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 5 अंकगणितीय प्रगति – पद II

यह अध्याय छात्रों को एक नए विषय से है जो परिचित कराता अंकगणितीय प्रगति है , अर्थात AP। अध्याय में कुल 4 अभ्यास हैं। अभ्यास 5.1 में, छात्रों को एपी के रूप में एक स्थिति का प्रतिनिधित्व करने, एपी के पहले शब्द और अंतर को खोजने, यह पता लगाने से संबंधित प्रश्न मिलेंगे कि एक श्रृंखला एपी है या नहीं। अभ्यास 5.2 में निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके किसी AP का nवाँ पद ज्ञात करने के प्रश्न शामिल हैं;

ए एन = ए + (एन -1) डी

अगले अभ्यास, यानी, 5.3, में एक AP के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के प्रश्न हैं। अंतिम अभ्यास में छात्रों के विश्लेषणात्मक और समस्या-समाधान कौशल को बढ़ाने के लिए एपी पर आधारित उच्च-स्तरीय प्रश्न शामिल हैं।

कक्षा 10 गणित अध्याय 5 में शामिल विषय दूसरे पद के लिए अंकगणितीय प्रगति:

अंकगणितीय प्रगति का अध्ययन करने के लिए प्रेरणा nवें पद की व्युत्पत्ति और AP के पहले n पदों का योग और दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में उनका अनुप्रयोग।
(AP के n पदों के योग पर आधारित आवेदनों को बाहर रखा गया है)

महत्वपूर्ण सूत्र –

यदि a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , … AP के पद हैं और d प्रत्येक पद के बीच का सामान्य अंतर है, तो हम अनुक्रम को इस प्रकार लिख सकते हैं; a , a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d,….,nth टर्म… जहां a पहला टर्म है। अब, n वां अंकगणितीय प्रगति के लिए पद इस प्रकार दिया गया है;

n वां पद = a + (n-1) d

अंकगणितीय प्रगति में पहले n पदों का योग;

एस एन = एन/2 [2ए + (एन-1) डी]

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 त्रिभुज – पद I

कक्षा 10 सीबीएसई गणित के अध्याय 6 में, छात्र उन आकृतियों का अध्ययन करेंगे जिनका आकार समान है लेकिन जरूरी नहीं कि समान आकार हो। अध्याय त्रिभुज एक समान और सर्वांगसम आकृति की अवधारणा से शुरू होता है। यह आगे दो त्रिभुजों की समानता और त्रिभुजों की समानता से संबंधित प्रमेयों की स्थिति की व्याख्या करता है। उसके बाद एक प्रमेय द्वारा समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की व्याख्या की गई है। इस अध्याय के अंत में पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का वर्णन किया गया है।

कक्षा 10 गणित अध्याय 6 में शामिल विषय I पद के लिए त्रिभुज:

परिभाषाएँ, उदाहरण, समरूप त्रिभुजों के प्रति उदाहरण।
1. (सिद्ध करना) यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाती है, तो अन्य दो भुजाएँ उसी अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
2. (प्रेरणा) यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
3. (प्रेरणा) यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों और त्रिभुज समरूप हों।
4. (प्रेरणा) यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
5. (प्रेरणा) यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
6. (प्रेरणा) यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से कर्ण पर एक लंब खींचा जाता है, तो लंब के प्रत्येक पक्ष के त्रिभुज पूरे त्रिभुज के समान होते हैं और एक दूसरे के समान होते हैं।
7. (प्रेरणा) दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
8. (सिद्ध करना) एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बना वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
9. (प्रेरित करना) एक त्रिभुज में, यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

महत्वपूर्ण प्रमेय –

प्रमेय 6.1: यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाती है, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं।

प्रमेय 6.2: यदि एक रेखा त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

प्रमेय 6.3: यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात (या समानुपात) में होती हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 6.4: यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात समान अनुपात में) हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 6.5: यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

प्रमेय 6.6: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

प्रमेय 6.7: यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से कर्ण पर एक लंब खींचा जाता है, तो लंब के दोनों ओर के त्रिभुज पूरे त्रिभुज के समरूप होते हैं और एक दूसरे के समान होते हैं।

प्रमेय 6.8: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

प्रमेय 6.9: एक त्रिभुज में, यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।